Nature UE
Crédits ECTS 6
Volume horaire total 55
Volume horaire CM 19
Volume horaire TD 36
Volume horaire TP 0

Pré-requis

Niveau L1 MIASHS en mathématiques

Objectifs

Ce cours est consacré à l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles et à valeurs dans Rn. On étudie les notions de continuité, différentiabilité, intégrabilité et convexité. On présente ensuite les outils et les techniques de base pour l'étude des problèmes d'optimisation.

PT招财进宝

1) ?léments de topologie dans Rn
Intervalles de R. Voisinage, ouvert, fermé de R.
Normes sur Rn. Voisinage, ouvert, fermé, borné de Rn. Adhérence, intérieur.
Suites dans Rn. Convergence. Théorème de Bolzano-Weierstrass.

2) Continuité
Fonctions continues en un point.
Fonctions continues dans un ensemble. Théorème de Weierstrass.

3) Différentiabilité
Dérivabilité des fonctions d'une variable réelle et à valeurs dans Rn.
Dérivées partielles. Gradient d'une fonction à valeurs dans R. Matrice jacobienne.
Différentielle d'ordre 1. Opérations sur les fonctions différentiables. Différentielle d'ordre 2. Théorème de Schwarz. Formules de Taylor-Lagrange, Taylor-Young. Inégalité des accroissements finis.

4) Intégrales multiples
Parties quarrables de R2, exemples remarquables. Définition et propriétés élémentaires de l'intégrale double d'une fonction continue bornée sur un domaine quarrable. Théorème de Fubini. Changement de variables dans une intégrale double. Cas particulier du passage en coordonnées polaires.
Parties cubables de R3, exemples remarquables. Définition et propriétés élémentaires de l'intégrale triple d'une fonction continue bornée sur un domaine cubable. Théorème de Fubini. Changement de variables dans une intégrale triple. Cas particulier du passage en coordonnées sphériques et cylindriques.

5) Convexité
Ensembles convexes. Fonctions convexes. Caractérisation des fonctions convexes différentiables.

6) Optimisation sans contrainte
Optimisation dans un ouvert de Rn . Conditions d'optimalité.
Optimisation dans un fermé. Théorème de Weierstrass.

7) Optimisation sous contrainte
Optimisation sous contrainte d'égalités dans Rn. Conditions du premier ordre de Lagrange. Conditions du second ordre.
Optimisation sous contrainte d'égalités et d'inégalités dans Rn. Conditions d'optimalité de Kuhn et Tucker.

Informations complémentaires

Ce cours est consacré à l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles et à valeurs dans Rn. On étudie les notions de continuité, différentiabilité, intégrabilité et convexité. On présente ensuite les outils et les techniques de base pour l'étude des problèmes d'optimisation.